Question

8．先化简，再求值：（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$）•$\frac{x\sqrt{{x}^{2}+2x+1}}{（x+1）^{2}（x-1）^{2}}$，其中x是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3（x+1）＞4x+2}\\{\frac{x}{2}≥\frac{x-1}{3}}\end{array}\right.$的整数解．

Answer 1

分析 先对原分式化简，再解出不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3（x+1）＞4x+2}\\{\frac{x}{2}≥\frac{x-1}{3}}\end{array}\right.$的整数解，然后根据x是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3（x+1）＞4x+2}\\{\frac{x}{2}≥\frac{x-1}{3}}\end{array}\right.$的整数解，分类对原分式求值即可解答本题．

解答 解：（$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{x+1}$）•$\frac{x\sqrt{{x}^{2}+2x+1}}{（x+1）^{2}（x-1）^{2}}$
=$\frac{（x+1）-x}{x（x+1）}•\frac{x\sqrt{（x+1）^{2}}}{（x+1）^{2}（x-1）^{2}}$
=$\frac{x+1-x}{x（x+1）}•\frac{x|x+1|}{（x+1）^{2}（x-1）^{2}}$
=$\frac{|x+1|}{（x+1）^{3}（x-1）^{2}}$，
解$\left\{\begin{array}{l}{3（x+1）＞4x+2}\\{\frac{x}{2}≥\frac{x-1}{3}}\end{array}\right.$得-2≤x＜1，
∵x是不等式组$\left\{\begin{array}{l}{3（x+1）＞4x+2}\\{\frac{x}{2}≥\frac{x-1}{3}}\end{array}\right.$的整数解，
∴x=-2或x=-1或x=0，
当x=-2时，原式=$\frac{|-2+1|}{（-2+1）^{3}（-2-1）^{2}}=\frac{1}{-1×9}=-\frac{1}{9}$；
当x=-1时，∵x+1=0，故x=-1时，原分式无意义；
当x=0时，原分式中的$\frac{1}{x}$无意义；
故原分式的值是-$\frac{1}{9}$．

点评 本题考查分式的化简求值、解一元一次不等式的整数解，解题的关键是会对分式化简求值，会解一元一次不等式，注意代入分式的x的值必须使得原分式有意义．