Question

10．如图，平面直角坐标系中，已知点B（2，1），过点B作BA⊥x轴，垂足为A，若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． -2＜k＜0
• B． -2＜k＜$\frac{1}{8}$
• C． -2＜k＜-1
• D． -2＜k＜$\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 先根据抛物线解析式y=$\frac{1}{2}$x²+k，求出抛物线与△AOB有一个公共点时的k值，然后根据抛物线的位置与开口方向判断k的取值范围即可．

解答 解：①由B（2，1）可得，OB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x，
∵抛物线为y=$\frac{1}{2}$x²+k，
∴当抛物线与OB有两个交点时，
一元二次方程$\frac{1}{2}$x=$\frac{1}{2}$x²+k中，判别式△＞0，
即1-8k＞0，
解得k＜$\frac{1}{8}$，
∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k＜$\frac{1}{8}$；
②∵B（2，1），BA⊥x轴，
∴A（2，0），
当抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+k经过点A时，0=2+k，即k=-2，
∵抛物线开口向上，
∴抛物线与△OAB有两个公共点时，k＞-2，
综上，若抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+k与△OAB的边界总有两个公共点，则实数k的取值范围是-2＜k＜$\frac{1}{8}$．
故选（B）

点评 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据图形求出抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+k与△OAB的边界有一个交点时k的值是解题的关键．解题时注意，二次函数y=ax²+c（a≠0）的图象是抛物线，对称轴是y轴，抛物线与y轴交点的纵坐标是函数解析中的c值．