Question

19．如图，△ABC是等边三角形，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A₁，∠A₁BC的平分线与∠A₁CD的平分线交于点A₂，…，∠A₂₀₁₅BC的平分线与∠A₂₀₁₅CD的平分线交于点A₂₀₁₆，则∠A₂₀₁₆的度数是（　　）

• A． $\frac{15°}{{2}^{2013}}$
• B． $\frac{15°}{{2}^{2014}}$
• C． $\frac{15°}{{2}^{2015}}$
• D． $\frac{15°}{{2}^{2016}}$

Answer 1

分析 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，根据角平分线的定义可得∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，然后整理得到∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A，同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁，从而判断出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$，然后表示出，∠A_n即可．

解答 解：由三角形的外角性质得，∠ACD=∠A+∠ABC，∠A₁CD=∠A₁+∠A₁BC，
∵∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴∠A₁BC=$\frac{1}{2}$∠ABC，∠A₁CD=$\frac{1}{2}$∠ACD，
∴∠A₁+∠A₁BC=$\frac{1}{2}$（∠A+∠ABC）=$\frac{1}{2}$∠A+∠A₁BC，
∴∠A₁=$\frac{1}{2}$∠A=30，
同理可得∠A₂=$\frac{1}{2}$∠A₁=150，
…，
∠A_n=$\frac{60}{{2}^{n}}$．
所以∠A₂₀₁₆=$\frac{15}{{2}^{2014}}$．
故选：B．

点评 本题考查了三角形的内角和定理，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，角平分线的定义，熟记性质并准确识图然后求出后一个角是前一个角的$\frac{1}{2}$是解题的关键．