Question

6．如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．
（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，当DP=8时，求线段BM的长．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质得出∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，求出∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，根据相似三角形的判定得出即可；
（2）作MN⊥QC，根据相似三角形的判定得出△MQN∽△PQC，根据相似三角形的性质得出$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，根据已知条件得到$\frac{MN}{PC}=\frac{1}{2}$，求得MN=$\frac{1}{2}$PC=$\frac{1}{2}$（20-8）=6，QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），根据相似三角形的性质得到$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{BQ}$，求出BQ=16，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2）解：作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{QM}{QP}$，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M为PQ的中点，
∴N为CQ的中点，
∴$\frac{MN}{PC}=\frac{1}{2}$，
又∵PC=DC-DP=20-8=12，
∴MN=$\frac{1}{2}$PC=6，QN=$\frac{1}{2}$QC=$\frac{1}{2}$（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{DP}{BQ}$，
∴$\frac{10}{20}=\frac{8}{BQ}$，
∴BQ=16，
∵QN=$\frac{1}{2}$QC=13，
∴BN=QB-QN=3，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=45，
∴BM=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，能综合运用定理进行推理和计算是解此题的关键，题目比较好，难度偏大．