Question

19．如图，一段抛物线y=-x（x-3）（0≤x≤3），记为C₁，它与x轴交于点O和A₁；将C₁绕A₁旋转180°得到C₂，交x轴于A₂；将C₂绕A₂旋转180°得到C₃，交x轴于A₃，…如此进行下去，得到一条“波浪线”．若点P（41，m）在此“波浪线”上，则m的值为（　　）

• A． 2
• B． -2
• C． 0
• D． $\frac{9}{4}$

Answer 1

分析 先解方程-x（x-3）=0得A₁（3，0），OA₁=3，利用旋转的性质得到A₁A₂=OA₁=3，则OA₂=6，A₂（6，0），所以C₂的解析式为y=（x-3）（x-6）（3≤x≤6），利用此规律可判断角标为奇数的抛物线开口向下，角标为偶数的抛物线开口向上，由于OA₁₃=39，OA₁₄=42，则A₁₃（39，0），A₁₄（42，0），于是可利用交点式写出C₁₄的解析式为y=（x-39）（x-42）（39≤x≤42），然后把点P（41，m）代入可计算出m的值．

解答 解：当y=0时，-x（x-3）=0，解得x₁=0，x₂=3，则A₁（3，0），OA₁=3，
∵C₁绕A₁旋转180°得到C₂，
∴A₁A₂=OA₁=3，则OA₂=6，A₂（6，0），
∴C₂的解析式为y=（x-3）（x-6）（3≤x≤6），
同样可得OA₁₃=39，OA₁₄=42，则A₁₃（39，0），A₁₄（42，0），
∴C₁₄的解析式为y=（x-39）（x-42）（39≤x≤42），
∴点P（41，m）在抛物线C₁₄上，
当x=41时，m=2×（-1）=-2．
故选B．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决本题的关键是能利用交点式写出每段抛物线的解析式．