如图.经过原点的抛物线y=-x2+2mx与x轴的另一个交点为点A.顶点为点B．抛物线的对称轴与x轴交于点C.点M在抛物线的对称轴上.且纵坐标为1．(1)当m=2时.①点A的坐标为B.点M的坐标为(2.1),②过点M作MN∥AB.交x轴于点N.求△MCN的面积,(2)当BC=2BM时.请直接写出m的值,(3)若m=$\sqrt{5}$.点P.Q分别从点O和点A同时出发.以相同的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

17．

如图，经过原点的抛物线y=-x²+2mx（m＞0）与x轴的另一个交点为点A，顶点为点B．抛物线的对称轴与x轴交于点C，点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1．
（1）当m=2时，
①点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（2，4）B，点M的坐标为（2，1）；
②过点M作MN∥AB，交x轴于点N，求△MCN的面积；
（2）当BC=2BM时，请直接写出m的值；
（3）若m=$\sqrt{5}$，点P、Q分别从点O和点A同时出发，以相同的速度向点C运动，点P、Q到达点C时，停止运动，连接BP、BQ、MP、MQ，当∠PMQ=3∠PBQ时，请直接写出△PBQ的面积的值．

分析（1）解一元二次方程-x（x-4）=0，和用配方法确定顶点坐标即可；
（2）先用待定系数法确定出直线AB的解析式为y=-2x+8，再用平行且通过点M确定出直线MN的解析式，从而求出CN即可；
（3）设出PC先求出PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$，再用△BRN∽△BCP，表示出BN，进而得出MN，最后用角平分线定理建立方程即可．

解答解：（1）①∵m=2，
∴y=-x²+4x=-x（x-4）=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴A（4，0），
∵y=-x²+4x=-（x-2）²+4，
∴B（2，4），
∵点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，
∴M（2，1），
故答案为A（4，0），B（2，4），M（2，1），
②如图1，

设直线AB的解析式为y=kx+b，
根据题意有$\left\{\begin{array}{l}{4k+b=0}\\{2k+b=4}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=-2}\\{b=8}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-2x+8，
∵MN∥AB，且过点M（2，1）
∴直线MN的解析式为y=-2x+5，
∵N在x轴上，
∴N（$\frac{5}{2}$，0），
∵C（2，0）
∴CN=$\frac{1}{2}$，
∵CM=1，
∴S_△MCN=$\frac{1}{2}$×CN×CM=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×1=$\frac{1}{4}$；
（2）∵抛物线y=-x²+2mx=-x（x-2m），
∵A（2m，0），
∵抛物线y=-x²+2mx=-（x-m）²+m²，
∴B（m，m²），C（m，0），
∵点M在抛物线的对称轴上，且纵坐标为1，
∴M（m，1），
∴BC=m²，BM=|m²-1|，
∵BC=2BM，
∴m²=2|m²-1|，
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=-$\sqrt{2}$（舍），m₃=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，m₄=-$\frac{\sqrt{6}}{3}$（舍）；
∴m₁=$\sqrt{2}$，m₂=$\frac{\sqrt{6}}{3}$；
（3）如图2，

∵m=$\sqrt{5}$，
∴抛物线y=-x²+2mx=-（x-m）²+m²=-（x-$\sqrt{5}$）²+5，
∴B（$\sqrt{5}$，5），C（$\sqrt{5}$，0）
∴BC=5，MC=1，BM=4，
作∠BPM的平分线交BC于N，过点N作NR⊥AB，
∵∠PMQ=3∠PBQ，
∴∠BPN=∠MPN=∠PBC，
设PC=a，
∴PB=$\sqrt{{a}^{2}+25}$PM=$\sqrt{{a}^{2}+1}$，
∴BR=$\frac{1}{2}$PB=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{a}^{2}+25}$
∵∠RBN=∠CBP，∠BRN=∠BCP，
∴△BRN∽△BCP，
∴$\frac{BN}{PB}=\frac{BR}{BC}$，
∴$\frac{BN}{\sqrt{{a}^{2}+25}}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{{a}^{2}+25}}{5}$
∴BN=$\frac{{a}^{2}+25}{10}$，
∴MN=BM-BN=$\frac{15-{a}^{2}}{10}$，
∵PN是∠BPM的角平分线，
∴$\frac{BN}{MN}=\frac{PB}{PM}$，
∴$\frac{\frac{{a}^{2}+25}{10}}{\frac{15-{a}^{2}}{10}}=\frac{\sqrt{{a}^{2}+25}}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$，
∴a=-$\frac{5\sqrt{7}}{7}$（舍）或a=$\frac{5\sqrt{7}}{7}$
∴PQ=$\frac{10\sqrt{7}}{7}$，
∴S_△PBQ=$\frac{1}{2}$×PQ×BC=$\frac{1}{2}$×$\frac{10\sqrt{7}}{7}$×5=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$
即：△PBQ的面积为=$\frac{25\sqrt{7}}{7}$．