题目内容
20．如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，AC=8$\sqrt{2}$cm，AD⊥BC于点D．点P从点A出发，沿A→C方向以$\sqrt{2}$cm/s的速度运动到点C停止．在运动过程中，过点P作PQ∥AB交BC于点Q，以线段PQ为边作等腰直角三角形PQM，且∠PQM=90°（点M，C位于PQ异侧）．设点P的运动时间为x（s），△PQM与△ADC重叠部分的面积为y（cm2）（1）当点M落在AB上时，求x的值；
（2）当点M落在AD上时，PM与CD之间的数量关系是PM=$\frac{2}{3}$CD，此时x的值是$\frac{16}{3}$；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
分析 （1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，由此即可解决问题．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E，先证明DQ=QE=EC，由PE∥AD，得$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$，由此即可解决问题．
（3）分三种情形①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，
②当4＜x≤$\frac{16}{3}$时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．
③当$\frac{16}{3}$＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，分别计算即可解决问题．
解答 解：（1）当点M落在AB上时，四边形AMQP是正方形，此时点D与点Q重合，
∴AP=CP=4$\sqrt{2}$，所以x=$\frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=4．
故答案为4．
（2）如图1中，当点M落在AD上时，作PE⊥QC于E．
∵△MQP，△PQE，△PEC都是等腰直角三角形，MQ=PQ=PC
∴DQ=QE=EC，PM∥CD，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{AP}{AC}$
∵PE∥AD，
∴$\frac{PA}{AC}=\frac{DE}{DC}=\frac{2}{3}$，
∴$\frac{PM}{CD}=\frac{2}{3}$，
∴PM=$\frac{2}{3}$CD，
∵AC=8$\sqrt{2}$，
∴PA=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴x=$\frac{16\sqrt{2}}{3}$÷$\sqrt{2}$=$\frac{16}{3}$．
故答案为：PM=$\frac{2}{3}$CD，$\frac{16}{3}$．
（3）①当0＜x≤4时，如图2中，设PM、PQ分别交AD于点E、F，则重叠部分为△PEF，
∵AP=$\sqrt{2}$x，
∴EF=PE=x，
∴y=S△PEF=$\frac{1}{2}$•PE•EF=$\frac{1}{2}$x2．
②当4＜x≤$\frac{16}{3}$时，如图3中，设PM、MQ分别交AD于E、G，则重叠部分为四边形PEGQ．
∵PQ=PC=8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x，
∴PM=16-2x，∴ME=PM-PE=16-3x，
∴y=S△PMQ-S△MEG=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）2-$\frac{1}{2}$（16-3x）2=-$\frac{7}{2}$x2+32x-64．
③当$\frac{16}{3}$＜x＜8时，如图4中，则重合部分为△PMQ，
∴y=S△PMQ=$\frac{1}{2}$PQ2=$\frac{1}{2}$（8$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}$x）2=x2-16x+64．
综上所述y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}^{2}（0＜x≤4）}\\{-\frac{7}{2}{x}^{2}+32x-64（4＜x≤\frac{16}{3}）}\\{{x}^{2}-16x+64（\frac{16}{3}＜x＜8）}\end{array}\right.$．
点评 此题是三角形综合题，主要等腰直角三角形的性质、分段函数、三角形面积等知识；解（1）关键是求出$\frac{AP}{AC}=\frac{2}{3}$，解（3）的关键是正确画出图形，学会分类讨论，属于中考压轴题．
每日10分钟口算心算速算天天练系列答案
如图，抛物线表示的是某企业年利润y（万元）与新招员工数x（人）的函数关系，当新招员工200人时，企业的年利润到最大值900万元．
如图，在?ABCD中，E、F分别是AB、DC边上的点，且AE=CF．
如图，用尺规法作∠DEC=∠BAC，作图痕迹$\widehat{MN}$的正确画法是（ ）| A． | 以点E为圆心，线段AP为半径的弧 | B． | 以点E为圆心，线段QP为半径的弧 | ||
| C． | 以点G为圆心，线段AP为半径的弧 | D． | 以点G为圆心，线段QP为半径的弧 |
| A． | y=2x2 | B． | y=x+1 | C． | y=3x | D． | y2=x |
如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．
已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
如图所示，点E是正方形ABCD的边BC上一点，以EC为边作正方形CEFG，四边形AEMN为矩形，点M在GF的延长线上．若AB=5，CE=3，则△MEG的面积为$\frac{63}{4}$．
如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，E为AB的中点，EC⊥AB，若AD=2，AB=6．则CD的长度为2$\sqrt{7}$．