Question

12．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，对角线AC，BD交于点O，点P从点A出发，沿AD方向匀速运动，速度为1cm/s；同时，点Q从点D出发，沿DC方向匀速运动，速度为1cm/s；当一个点停止运动时，另一个点也停止运动．连接PO并延长，交BC于点E，过点Q作QF∥AC，交BD于点F．设运动时间为t（s）（0＜t＜6），解答下列问题：
（1）当t为何值时，AP=PO．
（2）设五边形OECQF的面积为S（cm²），试确定S与t的函数关系式；
（3）在运动过程中，是否存在某一时刻t，使OD平分∠COP？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据矩形的性质和勾股定理得到AC=10，过P作PM⊥AO，证明△APM∽△ACD，根据相似三角形的性质即可得出答案；
（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，已知BE=PD，则可求△BOE的面积；可证得△DFQ∽△DOC，由相似三角形的面积比可求得△DFQ的面积，从而可求五边形OECQF的面积．
（3）由角平分线的性质得到DM=DN=$\frac{24}{5}$，根据勾股定理得到ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，由三角形的面积公式得到OP=5-$\frac{5}{8}$t，根据勾股定理列方程，解方程即可得到结论．

解答 解：（1）∵在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，∠ABC=90°，
∴AC=10，AO=$\frac{1}{2}$AC=5，
∵AP=PO=t，
过P作PM⊥AO，如图1所示：
∴AM=$\frac{1}{2}$AO=$\frac{5}{2}$，
∵∠PMA=∠ADC=90°，∠PAM=∠CAD，
∴△APM∽△ACD，
∴$\frac{AP}{AC}=\frac{AM}{AD}$，即$\frac{t}{10}=\frac{\frac{5}{2}}{8}$，
解得：t=$\frac{25}{8}$，
即t=$\frac{25}{8}$时，AP=PO；

（2）过点O作OH⊥BC交BC于点H，则OH=$\frac{1}{2}$CD=$\frac{1}{2}$AB=3cm．
由矩形的性质可知∠PDO=∠EBO，DO=BO，
在△DOP和△BOE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠PDO=∠EBO}&{\;}\\{OD=OB}&{\;}\\{∠DOP=∠BOE}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△DOP≌BOE（ASA），
∴BE=PD=8-t，
则S_△BOE=$\frac{1}{2}$BE•OH=$\frac{1}{2}$×3（8-t）=12-$\frac{3}{2}$t．
∵FQ∥AC，
∴△DFQ∽△DOC，相似比为$\frac{DQ}{DC}=\frac{t}{6}$，
∴$\frac{{S}_{△DFQ}}{{S}_{△DOC}}$=$\frac{{t}^{2}}{36}$，
∵S_△DOC=$\frac{1}{4}$S_矩形ABCD=$\frac{1}{4}$×6×8=12cm²，
∴S_△DFQ=12×$\frac{{t}^{2}}{36}$=$\frac{{t}^{2}}{3}$，
∴S_{五边形OECQF}=S_△DBC-S_△BOE-S_△DFQ=$\frac{1}{2}$×6×8-（12-$\frac{3}{2}$t）-$\frac{{t}^{2}}{3}$=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；
∴S与t的函数关系式为S=-$\frac{1}{3}$t²+$\frac{3}{2}$t+12；

（3）存在，理由如下：
如图3，过D作DM⊥PE于M，DN⊥AC于N，
∵∠POD=∠COD，
∴DM=DN=$\frac{24}{5}$，
∴ON=OM=$\sqrt{O{D}^{2}-D{N}^{2}}$=$\frac{7}{5}$，
∵OP•DM=3PD，
∴OP=5-$\frac{5}{8}$t，
∴PM=$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t，
∵PD²=PM²+DM²，
∴（8-t）²=（$\frac{18}{5}$-$\frac{5}{8}$t）²+（$\frac{24}{5}$）²，
解得：t=16（不合题意，舍去），t=$\frac{112}{39}$，
∴当t=$\frac{112}{39}$时，OD平分∠COP．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定和性质，图形面积的计算，全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．