Question

5．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是线段CB上的异于B、C的动点，AF⊥AE交线段CD的延长线于点F，EF与AD交于点M．
（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AE⊥BD，求BE长；
（3）若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，求BE的长．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，证出∠BAE=∠DAF，即可得出结论；
（2）证明△ABE∽△DAB，得出对应边成比例，即可得出答案；
（3）①当AE=AM时，证明△AEF≌△CEF（AAS），得出AE=CE，设BE=x，则AE=CE=4-x，Rt△ABE中，由勾股定理得出方程，解方程即可；
②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，则AN=MN=BE=x，EN∥DF，由（1）得：△ABE∽△ADF，得出对应边成比例求出DF=$\frac{4}{3}$x，由平行线证明△EMN∽△FMD，得出对应边成比例，得出方程，解方程即可．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠ABC=∠C=∠ADC=∠ADF=90°，AD∥BC，
∵AF⊥AE，∴∠EAF=90°，
∴∠BAD=∠EAF，
∴∠BAE=∠DAF，
∵∠ABE=∠ADF=90°，
∴△ABE∽△ADF．

（2）解：∵AD∥BC，
∴∠AEB=∠DAE，
∵AE⊥BD，
∴∠BAE+∠ABD=90°，
∵∠BAE+∠AEB=90°，
∴∠ABD=∠AEB，
∴∠AEB=∠ABD，
又∵∠ABE=∠BAD=90°，
∴△ABE∽△DAB，
∴$\frac{AB}{DA}=\frac{BE}{AB}$，即$\frac{3}{4}=\frac{BE}{3}$，
解得：BE=$\frac{9}{4}$；

（3）解：分两种情况：
①当AE=AM时，∠AEF=∠AME，
∵AF⊥AE，
∴∠EAF=90°，
∵AD∥BC，
∴∠AME=∠CEF，
∴∠AEF=∠CEF，
在△AEF和△CEF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠CEF}&{\;}\\{∠EAF=∠C=90°}&{\;}\\{EF=EF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△CEF（AAS），
∴AE=CE，
设BE=x，则AE=CE=4-x，Rt△ABE中，
由勾股定理得：x²+3²=（4-x）²，解得：x=$\frac{7}{8}$；
②当AE=EM时，过点E作EN⊥AD于点N，如图所示：
则AN=MN=BE=x，EN∥DF，
由（1）得：△ABE∽△ADF，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DF}$，即$\frac{3}{4}=\frac{x}{DF}$，
解得：DF=$\frac{4}{3}$x，
∵EN∥DF，
∴∴△EMN∽△FMD，
∴$\frac{EN}{DF}=\frac{MN}{DM}$，即$\frac{3}{\frac{4}{3}x}=\frac{x}{4-2x}$，
解得：x=$\frac{3}{2}$或x=-6（舍去），
∴BE=$\frac{3}{2}$；
综上所述，若△AEM是以AE为腰的等腰三角形，BE长为$\frac{7}{8}$或$\frac{3}{2}$．

点评 本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度，熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形全等和三角形相似是解决问题的关键．