Question

3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，E为AB的中点，EC⊥AB，若AD=2，AB=6．则CD的长度为2$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 过A点作AF⊥BC于F，过D点作DG⊥BC于G，则四边形AFGD是矩形，在Rt△AFB中，根据含30度角的直角三角形的性质可得BF=3，根据勾股定理可得AF=3$\sqrt{3}$，根据矩形的性质可得DG=3$\sqrt{3}$，FG=2，进一步得到CG=BC-BF-FG=1，再在Rt△CGD中，根据勾股定理可得CD=2$\sqrt{7}$．

解答 解：过A点作AF⊥BC于F，过D点作DG⊥BC于G，则四边形AFGD是矩形，
∵在Rt△AFB中，∠B=60°，AB=6，
∴∠BAF=30°，
∴BF=$\frac{1}{2}$×6=3，
∴AF=$\sqrt{A{B}^{2}-B{F}^{2}}$=3$\sqrt{3}$，
∴DG=3$\sqrt{3}$，
∵AD=2，
∴FG=2，
∴CG=BC-BF-FG=1，
∴在Rt△CGD中，CD=$\sqrt{C{G}^{2}+D{G}^{2}}$=2$\sqrt{7}$．
故答案为：2$\sqrt{7}$．

点评 考查了勾股定理，含30度角的直角三角形，矩形的判定与性质，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形．