Question

9．如图，AB是⊙O的直径，C是弧AB的中点，D是⊙O的切线CN上一点，BD交AC于点E，且BA=BD．
（1）求证：∠ACD=45°；
（2）若OB=2，求DC的长．

Answer 1

分析 （1）根据C是弧AB的中点，证明AC=BC，连接OC，根据切线的性质证明∠OCD=90°，得到答案；
（2）作BH⊥DC于H点，求出BH，根据勾股定理计算即可．

解答 （1）证明：∵C是弧AB的中点，
∴$\widehat{AC}$=$\widehat{BC}$，
∴AC=BC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠BAC=∠CBA=45°，
连接OC，∵OC=OA，
∴∠AC0=45°，
∵CN是⊙O切线，
∴∠OCD=90°，
∴∠ACD=45°．
（2）解：作BH⊥DC于H点，
∵∠ACD=45°，
∴∠DCB=135°，
∴∠BCH=45°，
∵OB=2，
∴BA=BD=4，AC=BC=$2\sqrt{2}$．
∵BC=$2\sqrt{2}$，
∴BH=CH=2，
设DC=x，在Rt△DBH中，
利用勾股定理：（x+2）²+2²=4²，
解得：x=$-2±2\sqrt{3}$（舍负的），
∴x=$-2+2\sqrt{3}$，
∴DC的长为：$-2+2\sqrt{3}$．

点评 本题考查了圆的切线性质，以及勾股定理的应用，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．