Question

11．如图，已知在矩形ABCD中，点E在AD边上，AE＞DE，BE=BC．
（1）试说明CE平分∠BED．
（2）若AB=3，BC=5，求CE的长．
（3）在直线AD上是否存在点F，使得以B，C，F，E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质得出∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，由平行线的性质得出∠DEC=∠BCE，由等腰三角形的性质得出∠BCE=∠BEC，证出∠DEC=∠BEC，即可得出结论．
（2）由勾股定理求出AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，得出DE=AD-AE=1，再由勾股定理求出CE即可；
（3）作BF⊥CE，交直线AD于F，由等腰三角形的性质得出BF平分CE，BF平分∠CBE，由垂直平分线的性质得出EF=CF，证出∠EFB=∠EBF，得出BE=EF，因此BE=BC=EF=CF，即可得出四边形BCFE是菱形．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD∥BC，AD=BC，CD=AB，
∴∠DEC=∠BCE，
∵BE=BC，
∴∠BCE=∠BEC，
∴∠DEC=∠BEC，
∴CE平分∠BED．
（2）解：∵∠A=90°，AB=3，BE=BC=5，
∴AE=$\sqrt{B{E}^{2}-A{B}^{2}}$=4，
∵AD=BC=5，
∴DE=AD-AE=1，
∵CD=AB=3，∠D=90°，
∴CE=$\sqrt{C{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$；
（3）解：在直线AD上存在点F，使得以B，C，F，E为顶点的四边形是菱形；
作BF⊥CE，交直线AD于F，如图所示：
理由如下：
∵BE=BC，BF⊥CE，
∴BF平分CE，BF平分∠CBE，
∴EF=CF，
∵AF∥BC，
∴∠EFB=∠CBF，
∴∠EFB=∠EBF，
∴BE=EF，
∴BE=BC=EF=CF，
∴四边形BCFE是菱形．

点评 本题考查了矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、菱形的判定等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的判定是解决问题的关键．