Question

1．如图，在△ABC中，∠C=90°，点D在BC上，AD=BD=5，cos∠ADC=$\frac{3}{4}$．
（1）求△ABC的周长；
（2）求sin∠DAB的值．

Answer 1

分析 （1）在Rt△ADC中，由cos∠ADC=$\frac{3}{4}$、AD=5求得CD=3，根据勾股定理分别求得AC、AB，即可得答案；
（2）由AD=BD知∠DAB=∠B，从而由sin∠DAB=sinB可得答案．

解答 解：（1）在Rt△ADC中，∵cos∠ADC=$\frac{3}{4}$、AD=5，
∴CD=3，
∴AC=$\sqrt{A{D}^{2}-C{D}^{2}}$=4，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
∴△ABC的周长为12+4$\sqrt{5}$；

（2）∵AD=BD，
∴∠DAB=∠B，
∴sin∠DAB=sinB=$\frac{AC}{AB}$=$\frac{4}{4\sqrt{5}}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查解直角三角形及等腰三角形的性质，熟练掌握勾股定理和三角函数的定义是解题的关键．