Question

9．直线y=-$\frac{4}{3}$x+8交x轴于点B，交y轴于点A，作∠ABO的平分线交y轴于点C，将线段AC绕点A逆时针旋转90°得线段AD，点D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．
（1）直接写出点A、B的坐标；
（2）求点C的坐标及k的值；
（3）在双曲线上找一点P，使S_△PAD=2S_△ACB，直接写出P点坐标；
（4）在y轴上找一点Q，过Q作x轴的平行线交双曲y=$\frac{k}{x}$（k≠0）于点M，且∠CBQ=∠ABO，直接出点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）分别令x=0，和y=0，即可求得；
（2）作CM⊥AB于M，根据角平分线的性质求得CM=OC，BM=OB，然后根据勾股定理求得AB，设C（0，b），则CM=OC=b，AC=8-b，根据勾股定理得出（8-b）²=b²+4²，即可求得C的坐标，从而求得AC的长，进而求得D的坐标，然后根据待定系数法即可求得k．
（3）根据三角形面积求得三角形PAD的面积，设P的纵坐标为y，根据三角形面积公式得出S_△PAD=$\frac{1}{2}$×5×|y-8|=30，求得P的纵坐标，然后代入反比例函数的解析式即可求得坐标．
（4）分别求得C点关于直线AB和x轴的对称点，求得通过对称点和B的直线的解析式，然后求得与y轴的解得即可求得Q点的坐标．

解答 解：（1）令x=0，则y=8，
∴A（0，8），
令y=0，则0=-$\frac{4}{3}$x+8，解得x=6，
∴B（6，0）；
（2）如图，作CM⊥AB于M，
∵BC是∠ABO的平分线，
∴CM=OC，BM=OB，
∵OA=8，OB=6，
∴AB=$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}}$=10，
∴AM=10-6=4，
设C（0，b），
∴CM=OC=b，AC=8-b，
在RT△ACM中，（8-b）²=b²+4²，
解得b=3，
∴C（0，3），AC=8-3=5，
∵将线段AC绕点A逆时针旋转90°得线段AD，
∴D（5，8），
∵D在双曲线y=$\frac{k}{x}$（k≠0）上．
∴k=5×8=40；
（3）∵AB=10，CM=3，
∴S_△PAD=2S_△ACB，=2×$\frac{1}{2}$×10×3=30，
设P的纵坐标为y，
∴S_△PAD=$\frac{1}{2}$×5×|y-8|=30，
∴y=20或-4，
代入y=$\frac{20}{x}$得，20=$\frac{20}{x}$或-4=$\frac{20}{x}$，解得x=1或-5，
∴P（1，20）或（-5，-4）．
（4）①当Q点在C点的上方时，设N（a，b），
∵AN=4，BN=6，
∴$\frac{b}{8}$=$\frac{6}{10}$，$\frac{a}{6}$=$\frac{4}{10}$，
∴b=4.8，a=2.4
∴N（2.4，4.8），
∴C点关于直线AB的对称点H是（4.8，6，6），
设直线BH的解析式为y=kx+n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6k+n=0}\\{4.8k+n=6.6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{11}{2}}\\{b=33}\end{array}\right.$，
∴直线BH的解析式为y=-$\frac{11}{2}$x+33，
∴直线BH与y轴的交点Q（0，33），
②当Q点在C点的下方时，Q点就是C点关于x轴的对称点是（0，-3），
故Q点的坐标为（0，22）或（0，-3）．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，角平分线的性质，勾股定理的应用，待定系数法求一次函数的解析式和反比例函数的解析式，求得C点的对称点是解题的关键．