Question

2．已知：Rt△ABC，∠A为直角，I为内心，BD，CE分别为两内角平分线，△IBC的面积为S，求四边形BCDE的面积．

Answer 1

分析 在BC上截取BM=BE、CN=CD，根据SAS定理可以证明△BIE≌△BIM，△CID≌△CIN，再根据全等三角形对应边相等得到EI=MI，DI=NI，全等三角形对应角相等，推出∠EID与∠MIN互补，从而得到△DIE与△MIN的面积相等，最后求出四边形BCDE的面积等于△BIC的面积的2倍．

解答 解：如图，在BC上截取BM=BE、CN=CD，
∵BD，CE分别为两内角平分线，
则△BIE≌△BIM（SAS），△CID≌△CIN（SAS），
∵∠BIM=∠BIE=45°，∠CIN=∠CID=45°，
即∠EIM=∠DIN=90°，
∴∠DIE+∠MIN=180°，
∴S_△DIE=S_△MIN，
∴S_{四边形BCDE}=2S_△BCI=2S．

点评 本题主要考查了三角形内心的性质和全等三角形的判定与性质，读懂题目信息是解题的关键，根据信息作辅助线构造出符合信息的图形是本题的难点．