Question

19．如图，在⊙O中，$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，半径OB，OC分别交弦AC，BD于点M，N，求证：∠OMN=∠ONM．

Answer 1

分析 由$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，可得∠AOB=∠BOC=∠DOC，进而根据OA=OB=OC得出OB⊥AC，OC⊥BD，由垂径定理得出AM=MC=$\frac{1}{2}$AC=BN=DN=$\frac{1}{2}$BD，然后根据HL证得RT△AOM≌RT△DON，即可证得OM=ON，根据等边对等角即可证得结论．

解答 证明：连接OA、OD，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴∠AOB=∠BOC=∠DOC，
∵OA=OB=OC，
∴OB⊥AC，OC⊥BD，
∴AM=MC=$\frac{1}{2}$AC，BN=DN=$\frac{1}{2}$BD，
∵$\widehat{AB}=\widehat{BC}=\widehat{CD}$，
∴$\widehat{ABC}$=$\widehat{BCD}$，
∴AC=BD，
∴AM=DN，
在RT△AOM和RT△DON中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OD}\\{AM=DN}\end{array}\right.$
∴RT△AOM≌RT△DON（HL），
∴OM=ON，
∴：∠OMN=∠ONM．

点评 考查的是圆心角、弧、弦的关系、垂径定理以及三角形全等的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键．