Question

12．如图：AD是△ABC中BC边上的中线，A′D′是△A′B′C′中B′C′边上的中线，$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$，试说明△ABC∽△A′B′C′．

Answer 1

分析 延长AD到E使DE=AD，连结BE，延长A′D′到E′，使D′E′=A′D′，如图，先证明△BDE≌△CDA得到BE=AC，∠EBD=∠C，同理可得B′E′=A′C′，∠E′B′D′=∠C′，于是利用$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$可得$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AE}{A′E′}$，则根据三组对应边的比相等的两个三角形相似得到△ABE∽△A′B′E′，得到∠ABE=∠A′B′E′，接着根据三角形内角和定理得∠BAC=∠B′A′C′，然后根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似可判断△ABC∽△A′B′C′．

解答 证明：延长AD到E使DE=AD，连结BE，延长A′D′到E′，使D′E′=A′D′，如图，
∵AD是△ABC中BC边上的中线，
∴BD=CD，
在△BDE和△CDA中
$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{∠BDE=∠CDA}\\{DE=DA}\end{array}\right.$，
∴△BDE≌△CDA，
∴BE=AC，∠EBD=∠C，
同理可得△B′D′E′≌△C′D′A′，
∴B′E′=A′C′，∠E′B′D′=∠C′，
∵$\frac{AB}{A′B′}=\frac{AC}{A′C′}=\frac{AD}{A′D′}$，
∴$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{BE}{B′E′}$=$\frac{AE}{A′E′}$，
∴△ABE∽△A′B′E′，
∴∠ABE=∠A′B′E′，
∴∠ABC+∠C=∠A′B′C′+∠C′，
∴∠BAC=∠B′A′C′，
而$\frac{AB}{A′B′}$=$\frac{AC}{A′C′}$，
∴△ABC∽△A′B′C′．

点评 本题考查了相似三角形的判定：三组对应边的比相等的两个三角形相似；两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．也考查了全等三角形的判定与性质．