Question

12．如图所示，平行四边形ABCD中，∠B=60°，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，角的两边所在的两直线分别交线段AB、AD于点E、F（不包括线段的端点）．
（1）问题发现：
如图1，若平行四边形ABCD为菱形，
试猜想线段AE、AF、AC之间的数量关系AE+AF=AC，请证明你的猜想．
（2）类比探究：
如图2，若AB：AD=1：2，过点C作CH⊥AD于点H，求AE：FH的比值；
（3）拓展延伸：
如图3，若AB：AD=1：4，请直接写出（AE+4AF）：AC的比值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 （1）①先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，再证明∠BCE=∠ACF即可解决问题．②根据①的结论得到BE=AF，由此即可证明．
（2）设DH=x，由题意，CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x，由△ACE∽△HCF，得$\frac{AE}{FH}=\frac{AC}{CH}$由此即可证明．
（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．先证明△CFN∽△CEM，得出$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$，由AB•CM=AD•CN，AD：AD=1：4，推出CM=4CN，得出$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$=$\frac{1}{4}$，设CN=a，FN=b，则CM=4a，EM=4b，再求出AC，AE+4AF，即可解决问题．

解答 解；（1）AE+AF=AC，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，∠BAD=120°，
∴∠D=∠B=60°，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，
∴△ABC，△ACD都是等边三角形，
∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，
∵∠ECF=60°，
∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，
∴∠BCE=∠ACF，
在△BCE和△ACF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠B=∠CAF}&{\;}\\{BC=AC}&{\;}\\{∠BCE=∠ACF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BCE≌△ACF（ASA）．
∴BE=AF，
∴AE+AF=AE+BE=AB=AC；
故答案为：AE+AF=AC．

（2）设DH=x，由题意，CD=2x，CH=$\sqrt{3}$x，
∴AD=2AB=4x，
∴AH=AD-DH=3x，
∵CH⊥AD，
∴AC=$\sqrt{A{H}^{2}+C{H}^{2}}$=2$\sqrt{3}$x，
∴AC²+CD²=AD²，
∴∠ACD=90°，
∴∠BAC=∠ACD=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠ACH=60°，
∵∠ECF=60°，
∴∠HCF=∠ACE，
∴△ACE∽△HCF，
∴AE：FH=AC：CH=2：1．

（3）如图3中，作CN⊥AD于N，CM⊥BA于M，CM与AD交于点H．
∵∠ECF+∠EAF=180°，
∴∠AEC+∠AFC=180°，
∵∠AFC+∠CFN=180°，
∴∠CFN=∠AEC，∵∠M=∠CNF=90°，
∴△CFN∽△CEM，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$，
∵AB•CM=AD•CN，AB：AD=1：4，
∴CM=4CN，
∴$\frac{CN}{CM}=\frac{FN}{EM}$=$\frac{1}{4}$，
设CN=a，FN=b，则CM=4a，EM=4b，
∵∠MAH=60°，∠M=90°，
∴∠AHM=∠CHN=30°，
∴HC=2a，HM=2a，HN=$\sqrt{3}$a，
∴AM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$HM=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，AH=2AM=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$a，
∴AC=$\sqrt{A{M}^{2}+C{M}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{39}}{3}$a，
AE+4AF=（EM-AM）+4（AH+HN-FN）=EM-AM+4AH+4HN-4FN=4AH+4HN-AM=$\frac{26\sqrt{3}}{3}$a，
∴$\frac{AE+4AF}{AC}$=$\frac{\frac{26\sqrt{3}}{3}a}{\frac{2\sqrt{39}}{3}a}$=$\sqrt{13}$；
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查几何变换综合题．全等三角形的判定和性质．相似三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形，学会添加常用辅助线，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．