Question

20．图（1）为一波浪式相框（厚度忽略不计），内部可插入占满整个相框的照片一张，如图（2），主视图（不含图中虚线部分）为两端首尾相连的等弧构成，左视图和俯视图均为长方形（单位：cm）：
（1）图中虚线部分的长为20cm，俯视图中长方形的长为12cm；
（2）求主视图中的弧所在圆的半径；
（3）试计算该相框可插入的照片的最大面积（参考数据：sin22.5°≈$\frac{5}{13}$，cos22.5°≈$\frac{12}{13}$，tan22.5°≈$\frac{5}{12}$，计算结果保留π）．

Answer 1

分析 （1）根据图示直接填空；
（2）设该圆的半径为xcm，利用垂径定理得到：x²=（$\frac{20}{4}$）²+（x-$\frac{2}{2}$）²，通过解方程求得x的值即该圆的半径；
（3）根据弧长公式和弧的面积公式计算．

解答 解：（1）根据左视图得到：图中虚线部分的长为 20cm，俯视图中长方形的长为 12cm；
故答案是：20；12；

（2）设该圆的半径为xcm，利用垂径定理得到：x²=（$\frac{20}{4}$）²+（x-$\frac{2}{2}$）²，
解得x=13．
即圆的半径是13cm；

（3）∵tan22.5°≈$\frac{5}{12}$，
∴俯视图的两段弧的圆心角的度数是22.5°×2=45°，
∴俯视图的总弧长为：$\frac{45π}{180}$×13×2=$\frac{13π}{2}$，
∴照片的最大面积为：$\frac{13π}{2}$×12=78π（cm²）．
答：可插入照片的最大面积为78πcm²．

点评 本题考查了解直角三角形的应用．解决本题的难点是根据所给视图得到弧所在圆的半径．