Question

4．如图，AB是⊙O的直径，点F、C是⊙O上两点，且$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，连接AC、AF，过点C作CD⊥AF，交AF的延长线于点D，垂足为D，若CD=2$\sqrt{3}$，则⊙O的半径为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4$\sqrt{3}$
• C． 2
• D． 4

Answer 1

分析 连结BC，由AB为直径得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圆得∠BOC=60°，则∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三边的关系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根据勾股定理求得AB，进而求得⊙O的半径．

解答 解：连结BC，如图，
∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{AF}$=$\widehat{FC}$=$\widehat{CB}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=2$\sqrt{3}$，
∴AC=2CD=4$\sqrt{3}$，
在Rt△ACB中，BC²+AC²=AB²，
即（4$\sqrt{3}$）²+（$\frac{1}{2}$AB）²=AB²，
∴AB=8，
∴⊙O的半径为4．
故选D．

点评 本题考查了圆周角定理和含30度的直角三角形三边的关系，勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．