Question

16．如图，反比例函数y=$\frac{k}{x}$（x＜0）的图象经过平行四边形OABC的两个顶点B，C，若点A的坐标为（1，2），AB=$\sqrt{5}$BC，则反比例函数的解析式为y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．

Answer 1

分析 由点A坐标可得OA长，根据平行四边形性质可得OC的长，设点C坐标为（x，$\frac{k}{x}$），则点B坐标为（x+1，$\frac{k}{x}$+2），由勾股定理可得x²+$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=25，由点B在双曲线上可得$\frac{k}{x}$+2=$\frac{k}{x+1}$，解方程组可得k的值．

解答 解：∵点A的坐标为（1，2），
∴OA=$\sqrt{5}$，
又∵四边形OABC是平行四边形，且AB=$\sqrt{5}$BC，
∴OC=5，
∵点C在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴设点C坐标为（x，$\frac{k}{x}$），
则x²+$\frac{{k}^{2}}{{x}^{2}}$=25  ①，
根据题意知点B的坐标为（x+1，$\frac{k}{x}$+2），
又∵点B在双曲线y=$\frac{k}{x}$上，
∴$\frac{k}{x}$+2=$\frac{k}{x+1}$   ②，
由②可得，k=-2x²-2x，代入①整理得：5x²+8x-21=0，
解得：x=-3或x=$\frac{7}{5}$，
当x=-3时，k=-2x²-2x=-12，
当x=$\frac{7}{5}$时，k=-2x²-2x=-$\frac{119}{25}$，
∴反比例函数的解析式为：y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．
故答案为：y=-$\frac{12}{x}$或y=-$\frac{119}{25x}$．

点评 本题主要考查反比例函数解析式求法及平行四边形的性质，设出C两点坐标，根据平行四边形性质表示出点B坐标是前提，运用勾股定理和反比例函数图象上点的坐标特点列出方程是解题的关键．