Question

9．在平面直角坐标系x、y中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P在线段OD上，点Q线段OC上，OQ=$\sqrt{2}$OP，∠PQB=90°，求线段PO的长．

Answer 1

分析 设PO的长为x，作PM⊥OQ于M，由矩形的性质和已知条件得出△OPM是等腰直角三角形，得出OM=PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，由已知条件得出OQ=$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$x，得出MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=OM，因此OP=PQ，证出△BCQ是等腰直角三角形，得出QC=BC=2，求出OQ=OC-CQ=4，得出方程$\sqrt{2}$x=4，解方程即可．

解答 解：设PO的长为x，作PM⊥OQ于M，如图所示：
∵矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D，
∴△OPM是等腰直角三角形，
∴OM=PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x，
∵OQ=$\sqrt{2}$OP=$\sqrt{2}$x，
∴MQ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x=OM，
∴OP=PQ，
∴∠PQO=∠POQ=45°，
∵∠PQB=90°，
∴∠BQC=45°，
∴△BCQ是等腰直角三角形，
∴QC=BC=2，
∴OQ=OC-CQ=4，
∴$\sqrt{2}$x=4，
∴x=2$\sqrt{2}$，
即线段PO的长为2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握矩形的性质，证出等腰直角三角形是解决问题的关键．