Question

13．如图，⊙O是△BCN的外接圆，弦AC⊥BC，点N是$\widehat{AB}$的中点，∠BNC=60°，求$\frac{BN}{BC}$的值．

Answer 1

分析 连接AB、AN，先证明△ABN是以AB为底边的等腰直角三角形，从而得到BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB ①，再求出BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB ②，利用①÷②即可解答．

解答 解：如图，连接AB、AN，

∵弦AC⊥弦BC，
∴弦AB是⊙O的直径，
∴∠ANB=90°，
∵点N是$\widehat{AB}$的中点，
∴AN=BN，
∴△ABN是以AB为底边的等腰直角三角形，
∴BN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$AB ①，
∵∠BNC=60°，
∴∠BAC=60°，
又∠ACB=90°，
∴BC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB ②
①÷②，得：
$\frac{BN}{BC}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定、性质，解决本题的关键是表示出BN，BC与AB的数量关系．