Question

如图，△ABC的二条高AD，CF相交于点H，D，F分别为垂足，AD的延长线交△ABC的外接圆于点E，求证：HD=DE．

Answer 1

考点：圆周角定理,全等三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：连结CE，如图，利用等角的余角相得到∠1=∠3，再根据圆周角定理得到∠2=∠3，则∠1=∠2，加上CD⊥HE，则可判断△CEH为等腰三角形，然后根据等腰三角形的性质得HD=DE．

解答：证明：连结CE，如图，
∵AD和CF为△ABC的高，
∴∠1+∠B=90°，∠3+∠B=90°，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
而CD⊥HE，
∴△CEH为等腰三角形，
∴HD=DE．

点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了等腰三角形的判定与性质．