Question

8．已知一次函数y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$x+$\sqrt{2}$的图象与x轴，y轴，分别交于A、B两点，点C坐标为（1，0），点D在x轴上，且∠BCD和∠ABD是两个不相等的钝角，求经过B、D两点的一次函数的解析式．

Answer 1

分析 先利用坐标轴上点的坐标特征求出A点和B点坐标，再证明△DBC∽△DAB得到BD²=CD•DA=CD（CD+4），接着利用勾股定理得到BD²（$\sqrt{2}$）²+（1+CD）²，从而得到CD（CD+4）=（$\sqrt{2}$）²+（1+CD）²，解方程求出CD得到D点坐标，然后利用待定系数法求直线BD的解析式．

解答 解：当x=0时，y=$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$x+$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，则B（0，$\sqrt{2}$），
当y=0时，$\frac{{\sqrt{2}}}{3}$x+$\sqrt{2}$=0，解得x=-3，则A（-3，0），
∵∠BDC=∠ADB，∠DCB=∠DBA，
∴△DBC∽△DAB，
∴BD：DA=CD：BD，
即BD²=CD•DA=CD（CD+4），
∵BD²=OB²+OD²=（$\sqrt{2}$）²+（1+CD）²，
∴CD（CD+4）=（$\sqrt{2}$）²+（1+CD）²，解得CD=$\frac{3}{2}$，
∴D（$\frac{5}{2}$，0），
设直线BD的解析式为y=kx+b，
把B（0，$\sqrt{2}$），D（$\frac{5}{2}$，0）代入得$\left\{\begin{array}{l}{b=\sqrt{2}}\\{\frac{5}{2}k+b=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2\sqrt{2}}{5}}\\{b=\sqrt{2}}\end{array}\right.$，
∴经过B、D两点的一次函数的解析式为y=-$\frac{2\sqrt{2}}{5}$x+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了待定系数法求一次函数解析式：先设出函数的一般形式，如求一次函数的解析式时，先设y=kx+b；再将自变量x的值及与它对应的函数值y的值代入所设的解析式，得到关于待定系数的方程或方程组；然后解方程或方程组，求出待定系数的值，进而写出函数解析式．解决本题的关键是利用相似比和勾股定理得到关于CD的方程，求出CD的长得到D点坐标．