Question

16．如图，直径为10的半圆O，tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，∠BCD的平分线交⊙O于F，E为CF延长线上一点，且∠EBF=∠GBF．
（1）求证：BE为⊙O切线；
（2）求证：BG²=FG•CE；
（3）求OG的值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠FBD=∠DCF，由角平分线的定义得到∠BCF=∠DCF，等量代换得到∠EBF=∠∠BCF，推出BE⊥BC，即可得到结论；
（2）证明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，通过相似三角形的性质得到BE²=EF•CE，得到∠BFE=∠BFG=90°，推出△BEF≌△BGF，根据全等三角形的性质得到BE=BG，EF=FG，等量代换得到结论；
（3）如图，过G作GH⊥BC于H，根据角平分线的性质得到GH=GD，根据三角函数的定义得到$\frac{GH}{BG}=\frac{GD}{8-GD}$=$\frac{3}{5}$，求得GD=GH=3，BG=5，BH=4，根据勾股定理即可得到结论．

解答 （1）证明：由同弧所对的圆周角相等得∠FBD=∠DCF，
又∵CF平分∠BCD，
∴∠BCF=∠DCF，
已知∠EBF=∠GBF，
∴∠EBF=∠∠BCF，
∵BC为⊙O直径，
∴∠BFC=90°，
∴∠FBC+∠FCB=90°，
∴∠FBC+∠EBF=90°，
∴BE⊥BC，
∴BE为⊙O切线；

（2）证明：由（1）知∠BFC=∠EBC=90°，∠EBF=∠ECB，
∴△BEF∽△CEB，
∴BE²=EF•CE，
又∠EBF=∠GBF，BF⊥EG，
∴∠BFE=∠BFG=90°，
在△BEF与△BGF中，$\left\{\begin{array}{l}{∠EBF=∠GBF}\\{BF=BF}\\{∠EFB=∠BFG}\end{array}\right.$，
∴△BEF≌△BGF，
∴BE=BG，EF=FG，
∴BG²=FG•CE；

（3）如图，过G作GH⊥BC于H，
∵CF平分∠BCD，
∴GH=GD，
∵tan∠DBC=$\frac{3}{4}$，
∴sin∠DBC=$\frac{3}{5}$，
∵BC=10，
∴BD=8，BG=BD-GD=8-GD，
∴$\frac{GH}{BG}=\frac{GD}{8-GD}$=$\frac{3}{5}$，
∴GD=GH=3，BG=5，BH=4，
∵BC=10，∴OH=OB-BH=1，
在Rt△OGH中，由勾股定理得OG=$\sqrt{10}$．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定，角平分线的性质，三角函数的定义，作GH⊥BC是解决（3）小题的关键．