Question

8．如图1，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，-2），点B的坐标为（3，-1），二次函数y=-x²的图象为C₁．
（1）平移抛物线C₁，使平移后的抛物线经过点A，但不过点B，则向下平移且经过点A的解析式为y=-x²-1
（2）平移抛物线C₂，使平移后的抛物线经过A、B两点，所得的抛物线为C₃，如图2，求抛物线C₃的解析式及在AB上方的抛物线上找一点C，使△ABC的面积最大，并求这个最大面积．
（3）在y轴上是否存在点P，使S_△ABC=S_△ABP？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，把（1，-2）代入即可求得c的值，得到函数的解析式；
（2）利用待定系数法即可求得函数的解析式，根据待定系数法求得AB的解析式，再设过点C与AB平行的直线的解析式，根据△=0求得C点坐标，进一步得到△ABC的面积；
（3）分当点P位于AB的上方和下方两种情况进行讨论求解．

解答 解：（1）设平移以后的二次函数解析式是：y=-x²+c，
把A（1，-2）代入得：-1+c=-2，
解得：c=-1，
则函数的解析式是：y=-x²-1．
故答案为：y=-x²-1；

（2）设C₂的解析式是y=-x²+bx+c，
因为C₂经过点A（1，-2）和B（3，-1），
根据题意得：$\left\{\begin{array}{l}{-2=-1+b+c}\\{-1=-9+3b+c}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{b=\frac{9}{2}}\\{c=-\frac{11}{2}}\end{array}\right.$，
则C₂的解析式是：y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$，
设AB的解析式为y=kx+b，则$\left\{\begin{array}{l}{k+b=-2}\\{3k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{5}{2}}\end{array}\right.$．
故AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，
设过点C与AB平行的直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x+m，与C₂的解析式y=-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$联立得-x²+$\frac{9}{2}$x-$\frac{11}{2}$=$\frac{1}{2}$x+m，
即x²-4x+（m+$\frac{11}{2}$）=0，
△=16-4（m+$\frac{11}{2}$）=0，
解得m=-$\frac{3}{2}$，
则x=2，
y=-$\frac{1}{2}$，
即点C的坐标为（2，-$\frac{1}{2}$），
则S_△ABC=2×$\frac{3}{2}$-1×$\frac{3}{2}$×$\frac{1}{2}$-1×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$-2×1×$\frac{1}{2}$=1．

（3）AB的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{5}{2}$，过点C与AB平行的直线的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{3}{2}$，
①当点P位于AB的上方时，点P的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$）；
②当点P位于AB的下方时，点P的坐标为（0，-$\frac{5}{2}$×2+$\frac{3}{2}$），即（0，-$\frac{7}{2}$）．
综上所述，所求点P的坐标为（0，-$\frac{3}{2}$）或（0，-$\frac{7}{2}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，是待定系数法求函数的解析式，以及函数的平移的综合，正确理解平移时，函数解析式的变化规律是关键．