Question

20．直线MN与线段AB相交于点O．点C，点D分别为射线ON，OM上两点，且满足∠ACN=∠ODB=45°．

【特殊发现】
（1）如图1，若AO=OB，当点C与点O重合时，此时AO与BD的数量关系为AO=BD，AO与BD的位置关系为AO⊥BD；
【拓展探究】
（2）将图1中的MN绕点O顺时针旋转α°，（0＜α＜45），如图2所示，若AO=OB，求证：AC=BD，AC⊥BD；
【解决问题】
（3）如图3，若kAO=OB，求$\frac{BD}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）先根据∠BOD和∠2的度数，判断DB与OB的数量关系以及位置关系，再得出AO与BD的数量关系与位置关系；
（2）先过点B作BE∥AC，通过判定△AOC≌△BOE，得到∠BED的度数，再根据∠BED和∠2的度数，判断DB与EB的数量关系以及位置关系，再得出AC与BD的数量关系与位置关系；
（3）先过点B作BE∥AC，根据△AOC∽△BOE，得出BE与AC的比值，再根据DB=BE，得出BD与AC的比值．

解答 解：（1）如图1，当点C与点O重合时，∠1=∠DOB=45°
∵∠2=45°
∴DB=OB，且∠B=90°，即△BOD是等腰直角三角形
又∵AO=OB
∴AO=BD
∵∠B=90°
∴DB⊥AB，即DB⊥AO
故答案为：AO=BD；AO⊥BD
（2）如图2，过点B作BE∥AC，交MN于E，则∠A=∠OBE
∵AO=BO，∠AOC=∠BOE
∴△AOC≌△BOE（ASA）
∴AC=BE，∠ACO=∠BEO
∴∠1=∠BED=45°
又∵∠2=45°
∴∠DBE=90°，且DB=BE，即△BED是等腰直角三角形
∴DB⊥BE，AC=DB
又∵BE∥AC
∴AC⊥BD
（3）如图3，过点B作BE∥AC，交MN于E，则△AOC∽△BOE
∴$\frac{BE}{AC}$=$\frac{BO}{AO}$=k，且∠ACO=∠BEO
∴∠1=∠BED=45°
又∵∠2=45°
∴DB=BE
∴$\frac{BD}{AC}$=k

点评 本题主要考查了旋转变换以及等腰直角三角形，解决问题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．解答此类试题时，需要作平行线构造全等三角形或相似三角形进行求解．