Question

3．如图，直线y=kx-3与x轴、y轴分别相交于B、C两点，且OC=2OB
（1）求B点的坐标和k的值．
（2）若点A（x，y）是直线y=kx-3上在第一象限内的一个动点，当A 在运动的过程中，试写出△AOB的面积S与x的函数关系式，（不要求写出自变量的取值范围）．
（3）探究：在（2）的条件下
①当A运动到什么位置时，△ABO的面积为$\frac{9}{4}$，并说明理由．
②在①成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△AOP是等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）先确定出OC，进而得出OB，即可得出点B坐标，将点B的坐标代入直线解析式中即可得出k；
（2）直接利用三角形的面积公式即可得出结论；
（3）设出点P的坐标，进而利用两点间的距离公式求出OA²，OP²，AP²，分三种情况用两边相等建立方程求解即可．

解答 解：（1）在y=kx-3中，当x=0，得y=-3
∴OC=3，
∵OC=2OB，
∴OB=1.5
∴B（1.5，0）
把x=1.5，y=0代入y=kx-3中
∴k=2，

（2）由（1）知OB=1.5，点A在直线y=2x-3上，
S=$\frac{1}{2}$OB•|y_A|
=$\frac{1}{2}$×1.5×（2x-3）
=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$（x＞0）

（3）①由（2）知S=$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$，
∵△ABO的面积为$\frac{9}{4}$，
$\frac{3}{2}$x-$\frac{9}{4}$=$\frac{9}{4}$    
∴x=3，
∴y=2x-3=3，
∴A（3，3）
当A运动到（3，3）时△AOB面积为$\frac{9}{4}$；
②由（1）知，A（3，3），
设点P（m，0），
∴OA²=18，OP²=m²，AP²=（m-3）²+9
∵△AOP为等腰三角形，（如图）

∴Ⅰ、当OA=OP时，OA²=OP²，
即：18=m²，
∴m=±3$\sqrt{2}$，
∴P₁（3$\sqrt{2}$，0），P₂（-3$\sqrt{2}$，0）
Ⅱ、当OA=AP时，OA²=AP²，
即：18=（m-3）²+9，
∴m=0（此时和点A重合，所以舍去）或m=6，
∴P₃（6，0）
Ⅲ、当OP=AP时，OP²=AP²，
即：m²=（m-3）²+9，
∴m=3，
∴P₄（3，0）
即：满足条件的点P的坐标为（-3$\sqrt{2}$，0）、（3，0）、（3$\sqrt{2}$，0）、（6，0）．

点评 此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，解（1）的关键是求出OC，解（3）的关键是用方程的思想解决问题，是一道基础题目．