Question

13．如图．抛物线y=-x²+2x+3交x轴于点A（a，0），B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，点C关于抛物线对称轴的对称点为E，点G、F分别在x轴、y轴上，则四边形EDFG的周长的最小值为（　　）

• A． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{7}$
• B． 5+$\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$
• C． $\sqrt{2}$+$\sqrt{13}$+$\sqrt{17}$
• D． $\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$

Answer 1

分析 根据抛物线解析式求得点D（1，4）、点E（2，3），作点D关于y轴的对称点D′（-1，4）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案．

解答 解：如图，

在y=-x²+2x+3中，当x=0时，y=3，即点C（0，3），
∵y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴对称轴为x=1，顶点D（1，4），
则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，3），
作点D关于y轴的对称点D′（-1，4），作点E关于x轴的对称点E′（2，-3），
连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点，
四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE
=DE+D′F+FG+GE′
=DE+D′E′
=$\sqrt{（1-2）^{2}+（4-3）^{2}}$+$\sqrt{（-1-2）^{2}+（4+3）^{2}}$
=$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
∴四边形EDFG的周长的最小值为$\sqrt{2}$+$\sqrt{58}$，
故选：D．

点评 本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键．