题目内容
9．如图，在矩形ABCD中，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、1cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D运动．（1）若点P从点A运动到点B停止，点Q随点P的停止而停止运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，则经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（2）若点P沿着AB→BC→CD运动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C运动到点D停止，点P随点Q的停止而停止运动，则经过多长时间，△PBQ的面积为12cm2？
分析 （1）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（2）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
解答 解：（1）如下图1所示：作QM⊥AB，垂足为M，
设x秒后，点P和点Q的距离是10cm，
∵AP=3xcm，CQ=BM=xcm
∴PM=16-3x-x=（16-4x）cm
在Rt△PEQ中，根据勾股定理得：（16-4x）2+62=102
化简得：（16-5x）2=64
解之得：x1=2，x2=6
即：当点运动2秒或6秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（2）设经过y秒后，△PBQ的面积为12cm2
∵（16+6+16）÷3=12$\frac{2}{3}$，16÷1=16
∴12$\frac{2}{3}$＜16，即：当点Q运动到到点D时，P点运动到CD上，
①当点P运动到AB上时，如备用图1所示：
∵PB=16-3y，
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$•（16-3y）•6=12
解之得：y=4
即：经过4秒之后，△PBQ的面积为12cm2．
②当点P运动到BC上时，如备用图2所示：
∵BP=3y-16，CQ=y
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$•（3y-16）•y=12
化简得：3y2-16y-24=0
解之得y1，2=$\frac{8±2\sqrt{34}}{3}$（负值舍去）
即：经过$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒之后，△PBQ的面积为12cm2
③当点P运动到CD上时，如备用图3所示：
∵CP=3y-22，CQ=y
∴PQ=y-3y+22=22-2y
∴S△PBQ=$\frac{1}{2}$•（22-2y）•6=12
解之得：y=9
即：经过9秒之后，△PBQ的面积为12cm2．
综上所述：即：经过4秒或经过$\frac{8+2\sqrt{34}}{3}$秒或经过9秒之后，△PBQ的面积为12cm2．
点评 本题综合考查了矩形的性质、两点间的距离、三角形的面积等知识点．关键是解答（2）时，要分类讨论，以防漏解．
名校课堂系列答案
如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，F是BC延长线上一点，∠ACB=∠DCF，AC⊥BD，垂足为E．
如图，直线AB：y=$\frac{1}{2}$x+1与x轴、y轴交于点A、B，直线CD：y=x-1分别x轴、y轴交于点C、D，直线AB与CD相交于点P．