Question

19．如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，F是BC延长线上一点，∠ACB=∠DCF，AC⊥BD，垂足为E．
（1）试说明：△ABE∽△CDE；
（2）若AB=6，AE=2CE，求BD的长．

Answer 1

分析 （1）利用等腰三角形的性质，只要证明CD∥AB即可．
（2）首先求出AE、EC，根据勾股定理求出BE，由AB∥CD，得$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，求出DE即可解决问题．

解答 （1）证明：∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠ACB=∠DCF，
∴∠DCF=∠ABC，
∴CD∥AB，
∴∠A=∠ECD，∵∠AEB=∠CED，
∴△ABE∽△CDE．

（2）解：∵AB=AB=6，AE=2EC，
∴AE=4，EC=2，
在Rt△ABE中，BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}-{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵AB∥CD，
∴$\frac{ED}{BE}$=$\frac{CE}{AE}$=$\frac{1}{2}$，
∴DE=$\sqrt{5}$，
∴BD=BE+DE=3$\sqrt{5}$．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，熟练运用这些知识解决问题是解题的关键，属于中考常考题型．