Question

8．如图，AD是∠BAC平分线，点E在AB上，且AE=AC，EF∥BC交AC于点F，AD与CE交于点G，与EF交于点H．
（1）证明：AD垂直平分CE；
（2）若∠BCE=40°，求∠EHD的度数．

Answer 1

分析 （1）根据等腰三角形三线合一的性质即可证明AD垂直平分CE；
（2）由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，则CD=DE，∠DCE=∠DEC．由EF∥BC，可得∠DCE=∠CEF=∠DEC，则EG平分∠DEF．再证明∠EDH=∠EHD，然后由∠BCE=40°，得出∠DEH=2∠BCE=80°，进而求出∠EHD=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°．

解答 （1）证明：∵AE=AC，AD是∠BAC平分线，
∴AD垂直平分CE；

（2）解：由（1）可知点D为CE垂直平分线上的点，
∴CD=DE，
∴∠DCE=∠DEC．
∵EF∥BC，
∴∠DCE=∠CEF=∠DEC，
∴EG平分∠DEF．
∵EG⊥AD，
∴△DEH是等腰三角形，且ED=EH，
∴∠EDH=∠EHD，
∵∠BCE=40°，
∴∠DEH=2∠BCE=80°，
∴∠EHD=$\frac{1}{2}$（180°-80°）=50°．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，掌握性质与定理是解题的关键．