Question

20．二次函数y=ax²-2x+c的图象与x轴交于A、C两点，点C（3，0），与y轴交于点B（0，-3）．
（1）a=1，c=-3；
（2）如图1，P是x轴上一动点，点D（0，1）在y轴上，连接PD，求$\sqrt{2}$PD+PC的最小值；
（3）如图2，点M在抛物线上，若S_△MBC=3，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组即可即可；
（2）如图1中，作PH⊥BC于H．由$\sqrt{2}$DP+PC=$\sqrt{2}$（PD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC）=$\sqrt{2}$（PD+PH），根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时$\sqrt{2}$DP+PC最小，最小值为$\sqrt{2}$DH′；
（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG=$\sqrt{2}$．由S_△EBC=$\frac{1}{2}$•BC•EG=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=3，推出过点E作BC的平行线交抛物线于M₁，M₂，则${S}_{△BC{M}_{1}}$=3，${S}_{△BC{M}_{2}}$=3，求出直线M₁M₂的解析式，利用方程组即可解决问题，同法求出M₃，M₄的坐标．

解答 解：（1）把C（3，0），B（0，-3）代入y=ax²-2x+c
得到，$\left\{\begin{array}{l}{c=-3}\\{9a-6+c=0}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{a=1}\\{c=-3}\end{array}\right.$．
故答案为1，-3．

（2）如图1中，作PH⊥BC于H．

∵OB=OC=3，∠BOC=90°，
∴∠PCH=45°，
在Rt△PCH中，PH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC．
∵$\sqrt{2}$DP+PC=$\sqrt{2}$（PD+$\frac{\sqrt{2}}{2}$PC）=$\sqrt{2}$（PD+PH），
根据垂线段最短可知，当D、P、H共线时$\sqrt{2}$DP+PC最小，最小值为$\sqrt{2}$DH′，
在Rt△DH′B中，∵BD=4，∠DBH′=45°，
∴DH′=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BD=2$\sqrt{2}$，
∴$\sqrt{2}$DP+PC的最小值为$\sqrt{2}$•2$\sqrt{2}$=4．

（3）如图2中，取点E（1，0），作EG⊥BC于G，易知EG=$\sqrt{2}$．

∵S_△EBC=$\frac{1}{2}$•BC•EG=$\frac{1}{2}$•3$\sqrt{2}$$•\sqrt{2}$=3，
∴过点E作BC的平行线交抛物线于M₁，M₂，则${S}_{△BC{M}_{1}}$=3，${S}_{△BC{M}_{2}}$=3，
∵直线BC的解析式为y=x-3，
∴直线M₁M₂的解析式为y=x-1，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-1}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3+\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1+\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3-\sqrt{17}}{2}}\\{y=\frac{1-\sqrt{17}}{2}}\end{array}\right.$，
∴M₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），
根据对称性可知，直线M₁M₂关于直线BC的对称的直线与抛物线的交点M₃、M₄也满足条件，
易知直线M₃M₄的解析式为y=x-5，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-5}\\{y={x}^{2}-2x-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=-4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=-3}\end{array}\right.$，
∴M₃（1．-4），M₄（2，-3），
综上所述，满足条件的点M的坐标为∴M₁（$\frac{3-\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$），M₂（$\frac{3+\sqrt{17}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{17}}{2}$），M₃（1．-4），M₄（2，-3）．

点评 本题考查二次函数综合题、待定系数法、垂线段最短、平行线的性质、轴对称、一次函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是学会利用垂线段最短解决最值问题，学会构建一次函数，利用方程组确定两个函数的交点坐标，属于中考压轴题．