Question

13．在锐角△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，求证：AB²=AC•AE+BC•BD．

Answer 1

分析 记AD与BE交点为H，连接CH并延长交AB于点F，由AD⊥BC、BE⊥AC知CH⊥AB，从而可得△ABE∽△ACF、△BDA∽△BFC，根据相似三角形性质得AB•AF=AE•AC、AB•BF=BC•BD，两式相加即可得证．

解答 证明：如图，记AD与BE交点为H，连接CH并延长交AB于点F，

∵AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，
∴BE、AD的交点H是△ABC的垂心，
∴CH⊥AB，
∴∠AFC=∠AEB=90°，
又∵∠BAE=∠CAF，
∴△ABE∽△ACF，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AC}{AF}$，即AB•AF=AE•AC，
同理，△BDA∽△BFC，
∴$\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{BF}$，即AB•BF=BC•BD，
∴AC•AE+BC•BD=AB•AF+AB•BF
=AB（AF+BF）
=AB•AB
=AB²，
即AB²=AC•AE+BC•BD．

点评 本题主要考查相似三角形的性质和判定及三角形的垂心，构建相似三角形将待求线段根据相似形的性质联系到一起是解题的关键．