Question

4．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CF⊥AD于F，BE⊥CF交CF的延长线于E，求$\frac{BE}{AF}$的值．

Answer 1

分析 由已知条件得出∠ACF=∠CBE，由AAS证明△AFC≌△CEB，得出AF=CE，CF=BE，证明△AFC∽△ACFD，得出对应边成比例CD：AC=CF：AF，由已知条件得出AC=2CD，即可得出结果．

解答 解：∵∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CF，
∴∠ACD=∠E=90°，∠ACF=∠CBE，
在△AFC和△CEB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AFC=∠E}&{\;}\\{∠ACF=∠CBE}&{\;}\\{AC=BC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFC≌△CEB（AAS），
∴AF=CE，CF=BE，
∵CF⊥AD，∠ACB=90°，
∴△AFC∽△ACFD，
∴CD：AC=CF：AF，
∵D为BC的中点，
∴CD=BD，AC=BC，
∴AC=2CD，
∴CF：AF=BE：AF=CD：AC=1：2．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质；证明三角形相似和三角形全等是解决问题的关键．