Question

16．如图，AB为圆O的直径，点D在圆O上，在梯形ABCD中：
（1）线段AB与线段DC都分别垂直于BC；
（2）AB=2CD，$\widehat{DMB}$是以点C为圆心的圆弧．
请问如图中阴影部分的面积与圆O的面积之比是多少？

Answer 1

分析 连结BD，设⊙O的半径为r，则OB=BC=CD=r．先求出梯形ABCD内部空白部分的面积，那么图中阴影部分的面积=S_梯形ABCD-S_空白，再求出⊙O的面积=πr²，进而得到图中阴影部分的面积与⊙O的面积之比．

解答 解：如图，连结BD，设⊙O的半径为r，则OB=BC=CD=r．
∵梯形ABCD内部空白部分的面积=2（S_扇形DCB-S_△DCB）=2×（$\frac{90π•{r}^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$r²）=（$\frac{1}{2}$π-1）r²，
∴图中阴影部分的面积=S_梯形ABCD-S_空白=$\frac{1}{2}$（r+2r）•r-（$\frac{1}{2}$π-1）r²=（$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}$π）r²，
又∵⊙O的面积=πr²，
∴图中阴影部分的面积与⊙O的面积之比为$\frac{\frac{5-π}{2}{r}^{2}}{π{r}^{2}}$=$\frac{5-π}{2π}$．

点评 本题考查了扇形面积的计算，准确作出辅助线，求出梯形ABCD内部空白部分的面积是解题的关键．