Question

8．如图，点E、F、G、H分别在菱形ABCD的四条边上，且BE=BF=DG=DH，连接EF，FG，GH，HE得到四边形EFGH，∠A=60°．设AE=x，四边形EFGH的面积为s与边AE的关系为s=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+4$\sqrt{3}$x，则菱形边长为4．

Answer 1

分析 根据菱形的性质结合等边三角形的判定与性质得出△AEH是等边三角形，进而表示出BE的长，即可得出答案．

解答 解：过点B作BN⊥EF于点N，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=DC=AD，
∵BE=BF=DG=DH，
∴AH=AE，EN=NF，
又∵∠A=60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE=HE=x，
∵四边形EFGH的面积为s与边AE的关系为s=-$\sqrt{3}{x}^{2}$+4$\sqrt{3}$x，
∴EF=-$\sqrt{3}$x+4$\sqrt{3}$，
∴NE=$\frac{-\sqrt{3}x+4\sqrt{3}}{2}$，
∵∠AEH=60°，∠HEF=90°，
∴∠FEB=30°，
故cos30°=$\frac{EN}{BE}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
则BE=-x+4，
故AB=AE+BE=x-x+4=4，
即菱形的边长为：4．
故答案为：4．

点评 此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质和矩形面积求法等知识，正确表示出BE的长是解题关键．