Question

1．已知如图：射线MN⊥AB于点M，点C从M出发，以1cm/s的速度沿射线MN运动，AM=1，MB=4，设运动时间为ts，①当△ABC为等腰三角形时，求t的值；②当△ABC为直角三角形时，求t的值；③点C在运动的过程中，若△ABC为钝角三角形，则t的取值范围是0＜t＜2；若△ABC为锐角三角形，则t的取值范围是t＞2．

Answer 1

分析 ①分CB=AB、AB=AC和AC=BC三种情况，根据等腰三角形的性质和勾股定理计算即可；
②根据勾股定理列式计算；
③由②的结论结合图形解答．

解答 解：①当CB=AB时，
在Rt△MCB，BC=5，BM=4，
由勾股定理得：MC=3，
则t=3s；
当AB=AC时，
在Rt△MCA，AM=1，AC=5，
由勾股定理得：MC=$\sqrt{{5}^{2}-{1}^{2}}$=2$\sqrt{6}$，
则t=2$\sqrt{6}$s；
当AC=BC时，C在AB的垂直平分线上，与条件不合；
∴当t=3s或2$\sqrt{6}$s时，△ABC为等腰三角形；

②∵由题意∠ACB=90°时，
∴AC²+BC²=AB²，
设CM=x，在Rt△MCB中由勾股定理得：BC²=x²+4²，
在Rt△MCA中，由勾股定理得：AC²=x²+1²，
∴x²+4²+x²+1²=5²，解得x=2，
∴t=2s；

③∵当t=2时，△ABC为直角三角形，
∴0＜t＜2时，△ABC为钝角三角形；
t＞2时，△ABC为锐角三角形．
故答案为：0＜t＜2；t＞2．

点评 本题考查的是勾股定理的应用，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a²+b²=c²，注意分情况讨论思想的运用．