Question

6．P是等边△ABC内部一点，∠APB、∠BPC、∠CPA的大小之比是5：6：7，将△ABP逆时针旋转，使得AB与AC重合，则以PA、PB、PC的长为边的三角形的三个角∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2．

Answer 1

分析 将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AP′C，显然有△AP′C≌△APB，连PP′，则AP′=AP，∠P′AP=60°，得到△AP′P是等边三角形，PP′=AP，所以△P′CP的三边长分别为PA，PB，PC；再由∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，得到∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，这样可分别求出∠PP′C=∠AP′C-∠AP′P=∠APB-∠AP′P=100°-60°=40°，∠P′PC=∠APC-∠APP′=140°-60°=80°，∠PCP′=180°-（40°+80°）=60°，即可得到答案．

解答 解：如图，将△APB绕A点逆时针旋转60°得△AQC，显然有△AQC≌△APB，连PQ，
∵AQ=AP，∠QAP=60°，
∴△AQP是等边三角形，
∴PQ=AP，
∵QC=PB，
∴△QCP的三边长分别为PA，PB，PC，
∵∠APB+∠BPC+∠CPA=360°，∠APB：∠BPC：∠CPA=5：6：7，
∴∠APB=100°，∠BPC=120°，∠CPA=140°，
∴∠PQC=∠AQC-∠AQP=∠APB-∠AQP=100°-60°=40°，
∠QPC=∠APC-∠APQ=140°-60°=80°，
∠PCQ=180°-（40°+80°）=60°，
∴∠PCQ：∠QPC：∠PQC=3：4：2，
故答案为：3：4：2．

点评 本题考查了旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等．也考查了等边三角形的性质，熟记旋转的性质是解题的关键．