Question

10．如图，已知△ABC，∠ACB=90°，AD=AB=BE，∠DCA=α，∠BCE=β．求：cotα•cotβ的值．

Answer 1

分析 延长CB，使BM=BC，通过△ABC≌△EBM，得到∠M=∠ACB=90°，AC=EM，于是求得cotβ=$\frac{CM}{EM}$=$\frac{2BC}{AC}$，同理cotα=$\frac{2AC}{BC}$，即可得到结论．

解答 解：延长CB，使BM=BC，
在△ABC与△EBM中，
$\left\{\begin{array}{l}{BC=BM}\\{∠ABC=∠EBM}\\{AB=EB}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△EBM，
∴∠M=∠ACB=90°，AC=EM，
∴cotβ=$\frac{CM}{EM}$=$\frac{2BC}{AC}$，
同理cotα=$\frac{2AC}{BC}$，
∴cotα•cotβ=4．

点评 本题考查了解直角三角形，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．