Question

19．如图，在平面直角坐标系中，以A（5，1）为圆心，以2个单位长度为半径的⊙A交x轴于点B、C．解答下列问题：
（1）根据A点坐标建立平面直角坐标系；
（2）将⊙A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，得到⊙A′，并画出⊙A′．此时点A′的坐标为（2，1）．
（3）求BC的长．

Answer 1

分析 （1）根据点A坐标画出坐标系即可．
（2）观察图象即可解决问题．
（3）连接AC，过点A作AD⊥BC于点D，利用勾股定理即可解决．

解答 解：（1）坐标系如图所示，

（2）⊙A向左平移3个单位长度与y轴首次相切，此时点A′坐标（2，1）．
故答案分别为3，（2，1）．
（3）连接AC，过点A作AD⊥BC于点D．
则BC=2DC，
由A（5，1）可得AD=1，
又∵AC=2，
∴在Rt△ADC中，DC=$\sqrt{A{C^2}-A{D^2}}=\sqrt{{2^2}-{1^2}}=\sqrt{3}$
∴BC=2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查坐标与图形、切线的性质、垂径定理、勾股定理、平移等知识，解题的关键是正确画出图形，添加辅助线构造直角三角形解决问题．属于中考常考题型．