Question

4．如图，小张在山坡下点O向山上球洞A打高尔夫球，球的运行高度y（m）与运行的水平距离x（m）都满足y=-$\frac{1}{4}$（x+h）²+9（山坡看作一条直线），山坡上的各点的纵坐标与横坐标比是1：2，第一杆球落在B处（O、B、A在一条直线上）
（1）求山坡OA的解析式；
（2）求出点B的坐标；
（3）已知OA=8$\sqrt{5}$m，那么第二杆能否打进球洞A？

Answer 1

分析 （1）设B（2a，a），OA的解析式为y=kx，于是得到a=2ak即可得到结论；
（2）由抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x+h）²+9过（0，0）点，得到方程求得h=-6，解方程组即可得到结论；
（3）点B在第二段抛物线上，得到-$\frac{1}{4}$（10+h）²=5，求得h=-14，解方程组得到A（16，8），根据勾股定理得到OA=$\sqrt{1{6}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，于是得到结论．

解答 解：（1）设B（2a，a），OA的解析式为y=kx，
∴a=2ak
k=$\frac{1}{2}$
∴OA的解析式为y=$\frac{1}{2}$x；

（2）∵抛物线y=-$\frac{1}{4}$（x+h）²+9过（0，0）点，
∴-$\frac{1}{4}$（0+h）²+9=0，解得h=±6，
∵抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，
∴h=-6，
解$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}（x-6）^{2}+9}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=10}\\{{y}_{1}=5}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=0}\\{{y}_{2}=0}\end{array}\right.$（舍去），
∴B（10，5），

（3）点B在第二段抛物线上，
∴-$\frac{1}{4}$（10+h）²+9=5，
∴h=-14，
依题意有$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{1}{4}（x-14）^{2}+9}\\{y=\frac{1}{2}x}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=16}\\{{y}_{1}=8}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=10}\\{{y}_{2}=5}\end{array}\right.$（舍去），
∴A（16，8），
∴OA=$\sqrt{1{6}^{2}+{8}^{2}}$=8$\sqrt{5}$，
∴第二杆能打进球洞A．

点评 本题考查了二次函数的应用及解直角三角形的知识，涉及了待定系数法求函数解析式的知识，注意建立数学模型，培养自己利用数学知识解决实际问题的能力，难度一般．