Question

3．如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，AD=6，CE=2$\sqrt{2}$，点F在CD上，连接DE，连接BG并延长交CD于点M，交DE于点H．则BH的长度为$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 过E作EN⊥DC，可证得△BCG≌△DCE，从而可得到∠EDC=∠CBM，可证明△BCM∽△DNE∽△DHM，得出M为CD的中点，进一步求得BM和BH，可求得BH的长．

解答 解：过E作EN⊥DC，垂足为N，
∵CE=2$\sqrt{2}$，四边形CEFG为正方形，
∴FC=4，
∵N为FC的中点，
∴DN=4，
∴EN：DN：DE=1：2：$\sqrt{5}$，
在△BCG和△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{CB=CD}\\{∠BCG=∠DCE}\\{CG=CE}\end{array}\right.$，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠EDC=∠CBM，
∴△BCM∽△DNE∽△DHM，
∴M为CD的中点，
∴BM=$\sqrt{5}$MC=3$\sqrt{5}$，HM=$\frac{DM}{\sqrt{5}}$=$\frac{3}{\sqrt{5}}$=$\frac{3\sqrt{5}}{5}$，
∴BH=BM+HM=3$\sqrt{5}$+$\frac{3\sqrt{5}}{5}$=$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{18\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查相似三角形的判定和性质及正方形的性质，利用相似三角形的性质证得M为CD的中点，求出BM和HM是解题的关键．