Question

5．△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AE平分∠CAB交CD于F，CH⊥EF于H，连接DH，求证：
（1）EH=FH；
（2）∠CAB=2∠CDH．

Answer 1

分析 （1）根据余角的性质得到∠AFD=∠AEC，证得∠CFE=∠CEF，得到CF=CE，根据等腰三角形的性质即可得到结论．
（2）由于∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，得到△ADF∽△CFH，根据相似三角形的性质得到$\frac{CF}{AF}=\frac{HF}{DF}$，由于∠AFC=∠DFH，得到△AFC∽△DFH，根据相似三角形的性质得到∠CAF=∠CDH，等量代换即可得到结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，CD⊥AB于D，
∴∠CAE+∠AEC=∠DAF+∠AFD=90°，
∴∠AFD=∠AEC，
∵∠AFD=∠CFE，
∴∠CFE=∠CEF，
∴CF=CE，
∵CH⊥EF，
∴HE=HF；

（2）∵∠ADF=∠CHF=90°，∠AFD=∠CFH，
∴△ADF∽△CFH，
∴$\frac{CF}{AF}=\frac{HF}{DF}$，
∵∠AFC=∠DFH，
∴△AFC∽△DFH，
∴∠CAF=∠CDH，
∵∠CAD=2∠CAF，
∴∠CAB=2∠CDH．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．