Question

6．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠BAD交DC于点E，且点E恰好为DC的中点．求证：BE⊥AE，BE平分∠ABC．

Answer 1

分析 ①延长AE、BC交于点M，求出∠DAE=∠CME，AB=BM，根据ASA推出△ADE≌△MCE，根据全等得出AE=EM，∠DAE=∠M，求出∠M=∠BAE，推出AB=BM，根据等腰三角形的性质得出即可．
②过E作EF⊥AB于F，根据角平分线性质得出EF=DE，推出EF=CE，根据角平分线性质得出即可．

解答 ①解：如图1中．延长AE、BC交于点M
∵AD∥BC
∴∠DAE=∠CME，
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAM，
∴∠BAM=∠CME，
∴AB=BM，
在△ADE和△MCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠D=∠ECM}\\{DE=CE}\\{∠AED=∠CEM}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△MCE，
∴AE=EM，∠DAE=∠M
∵AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE，
∴∠M=∠BAE，
∴AB=BM，
∵AE=EM，
∴BE⊥AM．
②证明：如图2中，过E作EF⊥AB于F，
∵∠D=90°，AE平分∠BAD，
∴EF=DE，
∵E为DC中点
∴DE=EC，
∴EF=EC，
∵EF⊥AB，∠C=90°，
∴BE平分∠ABC；

点评 本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、角平分线的判定和性质等知识，添加辅助线是解题的关键，属于中考常考题型．