Question

13．盱眙第一山景区为提高某景点的安全性，决定将到达景点的步行台阶进行改善，把倾角由45°减至30°，已知原台阶坡面AB的长为5m（BC所在地面为水平面）
（1）改善后的台阶坡面会加长多少？（就是问AD比AB长多少？）
（2）改善后的台阶多占多长一段水平地面？（结果精确到0.1m，参考数据：$\sqrt{2}$≈1.41，$\sqrt{3}$≈1.73）（就是求BD的长）

Answer 1

分析 （1）要求改善后的台阶坡面会加长多少，只要求出AD的长，然后AD与AB作差即可，要求AD的长，根据AB和∠ABC可以求得AC的长，然后根据AC和∠ADC的度数即可求得AD，本题得以解决；
（2）要求改善后的台阶多占多长一段水平地面，只要求的DC和BC的长，然后DC和BC作差即可，要求BC，根据AB和∠ABC可以求得，要求DC可以根据第一问求得的AC的长和∠ADC求得，本题得以解决．

解答 解：（1）∵由题意可得，AB=5m，∠ABC=45°，∠ADC=30°，
∴AC=AB•sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴AD=$\frac{AC}{sin30°}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{1}{2}}=5\sqrt{2}$，
∴AD-AB=（$5\sqrt{2}-5$）m，
即改善后的台阶坡面会加长（$5\sqrt{2}-5$）m；
（2）∵由题意可得，AB=5m，∠ABC=45°，∠ADC=30°，
∴BC=AB•cos45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，AC=AB•sin45°=5×$\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}}{2}$，
∴CD=$\frac{AC}{tan30°}=\frac{\frac{5\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$，
∴CD-BC=$\frac{5\sqrt{6}}{2}-\frac{5\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{6}-5\sqrt{2}}{2}=\frac{5\sqrt{2}（\sqrt{3}-1）}{2}$≈$\frac{5×1.41×（1.73-1）}{2}$≈2.6m，
即改善后的台阶多占2.6m长的一段水平地．

点评 本题考查解直角三角形的应用--坡度坡角问题，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的三角函数值进行解答．