Question

3．如图，AD平分∠BAC，与BC的垂直平分线交于点D，DF⊥AC于F．求证：AB+AC=2AF．

Answer 1

分析 根据线段垂直平分线求出BE=CE，根据角平分线性质求出EF=GE，证出Rt△BFE≌Rt△CGE，再判断出△AFE≌△AGE，推出AF=AG，即可．

解答 证明：
连接DB和CD，过点D作DG⊥AB，
∵DE是BC的垂直平分线，
∴BD=CD，
∵AD平分∠BAC，DG⊥AB，DF⊥AC，
∴∠BGD=∠DGC=90°，DF=DG，
在Rt△BDG和Rt△CDF中$\left\{\begin{array}{l}{BD=CD}\\{DG=CD}\end{array}\right.$
∴Rt△BDG≌Rt△CDF（HL），
∴BG=CF；
∵AD平分∠BAC，DF⊥AB，DG⊥AC，
∴∠AFD=∠AGD=90°，∠FAD=∠GAD，
在△AFD和△AGD中$\left\{\begin{array}{l}{∠GAD=∠FAD}\\{∠AGD=∠AFD}\\{AD=AD}\end{array}\right.$
∴△AFD≌△AGD，
∴AF=AG，
∵BF=CG，
∴AB+AC=AF-BF+AG+CG=AF+AF=2AF，
∴AB+AC=2AF．

点评 本题考查了全等三角形的性质和判定，角平分线性质，线段垂直平分线性质的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，题目比较典型，难度适中．