Question

8．已知：二次函数y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1（a≠3）．
（1）当a=5，求此二次函数图象的顶点坐标．
（2）设a为大于4的整数，x为正整数
①在括号内填上适当的内容使等式成立
由题意得抛物线的对称轴
h=$\frac{-2（{a}^{2}-6a+10）}{2（a-3）}$=$\frac{{a}^{2}-6a+10}{（）}$=$\frac{（）^{2}+1}{a-3}$=a-3+$\frac{（）}{a-3}$
②用a的代数式表示h的整数部分，并说明理由．
③当二次函数取得最小值时，求正整数x的值．（用a的代数式表示）

Answer 1

分析 （1）将a=5代入二次函数y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1，然后利用配方法求解即可求得此二次函数图象的顶点坐标．
（2）①首先根据公式求得对称轴，再化简，即可求得答案；②由①，即可求得答案；③分三种情形讨论即可．

解答 解：（1）当a=5时，二次函数y=（a-3）x²-2（a²-6a+10）x+1=2x²-10x+1=2（x-$\frac{5}{2}$）²-$\frac{23}{2}$；
∴此二次函数图象的顶点坐标为：（$\frac{5}{2}$，-$\frac{23}{2}$）；

（2）①h=-$\frac{-2（{a}^{2}-6a+10）}{2（a-3）}$=$\frac{{a}^{2}-6a+10}{a-3}$=$\frac{（a-3）^{2}+1}{a-3}$=a-3+$\frac{1}{a-3}$，
故答案为：a-3，a-3，1；

②由①得：h的整数部分为：a-3；
理由：∵为大于4的整数，
∴a-3是大于1的整数，
∴$\frac{1}{a-3}$是小数，
∴h的整数部分为：a-3；

③当x=h=a-3+$\frac{1}{a-3}$时，二次函数取得最小值，
∵a为大于4的整数，x为正整数，
∴抛物线的开口向上，
∴x=a-3或a-2时取得最小值，
当x=a-3时，取得最小值，则有
a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）＜（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a＞5，
当x=a-3或a-2时取得最小值，则有a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）=（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a=5，此时x=2或3，
当x=a-2时取得最小值，则有a-3+$\frac{1}{a-3}$-（a-3）＞（a-2）-a-3-$\frac{1}{a-3}$，解得a＜5（不合题意）
综上所述，当a＞5时，二次函数取得最小值时，x=a-2，
当a=5时，二次函数取得最小值时，x=2或3．

点评 此题属于二次函数的综合题．考查了二次函数的性质以及配方法的应用．注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键．