Question

11．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点．
（1）请直接写出∠COD的度数；
（2）求AC•BD的值；
（3）如图②，连接OP并延长交AM于点Q，连接DQ，试判断△PQD能否与△ACO相似？若能相似，请求AC：BD的值；若不能相似，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）结论：∠COD=90°，只要证明∠OCD+∠ODC=90°即可解决问题．
（2）由RT△AOC∽RT△BDO，得$\frac{AC}{BO}$=$\frac{AO}{BD}$，由此即可解决问题．
（3）分两种情形①如图②中，当△PQD∽△ACO时，②如图②中，当△PQD∽△AOC时，分别计算即可．

解答 解：（1）∠COD=90°．
理由：如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴AM⊥AB，BN⊥AB，
∴AM∥BN，
∵CA、CP是切线，
∴∠ACO=∠OCP，同理∠ODP=∠ODB，
∵∠ACD+∠BDC=180°，
∴2∠OCD+2∠ODC=180°，
∴∠OCD+∠ODC=90°，
∴∠COD=90°．

（2）如图①中，∵AB是直径，AM、BN是切线，
∴∠A=∠B=90°，
∴∠ACO+∠AOC=90°，
∵∠COD=90°，
∴∠BOD+∠AOC=90°，
∴∠ACO=∠BOD，
∴RT△AOC∽RT△BDO，
∴$\frac{AC}{BO}$=$\frac{AO}{BD}$，
即AC•BD=AO•BO，
∵AB=6，
∴AO=BO=3，
∴AC•BD=9．

（3）△PQD能与△ACO相似．
∵CA、CP是⊙O切线，
∴AC=CP，∠1=∠2，
∵DB、DP是⊙O切线，
∴DB=DP，∠B=∠OPD=90°，OD=OD，
∴RT△ODB≌RT△ODP，
∴∠3=∠4，
①如图②中，当△PQD∽△ACO时，∠5=∠1，
∵∠ACO=∠BOD，即∠1=∠3，
∴∠5=∠4，
∴DQ=DO，
∴∠PDO=∠PDQ，
∴△DCQ≌△DCO，
∴∠DCQ=∠2，
∵∠1+∠2+∠DCQ=180°，
∴∠1=60°=∠3，
在RT△ACO，RT△BDO中，分别求得AC=$\sqrt{3}$，BD=3$\sqrt{3}$，
∴AC：BD=1：3．
②如图②中，当△PQD∽△AOC时，∠6=∠1，
∵∠2=∠1，
∴∠6=∠2，
∴CO∥QD，
∴∠1=∠CQD，
∴∠6=∠CQD，
∴CQ=CD，
∵S_△CDQ=$\frac{1}{2}$•CD•PQ=$\frac{1}{2}$•CQ•AB，
∴PQ=AB=6，
∵CO∥QD，
∴$\frac{PC}{PD}$=$\frac{PO}{PQ}$，即$\frac{AC}{BD}$=$\frac{3}{6}$，
∴AC：BD=1：2

点评 本题考查圆的综合题、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活掌握这些知识的应用，学会分类讨论，注意不能漏解，属于中考压轴题．